\documentclass{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{eucal}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{fancy}
\begin{document}
\lhead{Doplnit název předmětu}
\rhead{Matouš Raisigl, raisimat@fel.cvut.cz}

ovnice systému
$$
y=Vx+Su
$$

Vážení reference systému

\begin{align*}
&(y-ref)^TQ(y-ref)\\
&(Vx+Su-ref)^TQ(Vx+Su-ref)\\
&((Vx)^T+(Su)^T-ref^T)Q(Vx+Su-ref)\\
&(x^TV^T+u^TS^T-ref^T)Q(Vx+Su-ref)
\end{align*}
Pro jednotilvé členy podle první závorky platí
\begin{align*}
&x^TV^TQVx+x^TV^TQSu-x^TV^TQref\\
&u^TS^TQVx+u^TS^TQSu-u^TS^TQref\\
&-ref^TQVx-ref^TQSu+ref^TQref
\end{align*}
Kvadratičtí členové
$$
u^TS^TQSu
$$
lineární (po sečtění)
$$
2x^TV^TQSu-2ref^TQSu
$$

Vážení vstupu systému

$$
\Delta u^T R\Delta u
$$
platí
$$
\Delta u=D_iu-\tilde{u}
$$

\begin{align*}
&(D_iu-\tilde{u})^TR(D_iu-\tilde{u})\\
&((D_iu)^T-\tilde{u}^T)R(D_iu-\tilde{u})\\
&(u^TD_i^T-\tilde{u}^T)R(D_iu-\tilde{u})
\end{align*}
Pro jednotlivé členy podle první závory platí
\begin{align*}
&u^TD_i^TRD_iu-u^TD_i^TR\tilde{u}\\
&-\tilde{u}^TRD_iu+\tilde{u}^TR\tilde{u}
\end{align*}
Kvadratický člen
$$
u^TD_i^TRD_i^Tu
$$
Lineární člen
$$
-2\tilde{u}RD_iu
$$

\clearpage

$$
\min_U \frac{1}{2}U^THU+
\begin{pmatrix}
x^T(z)&\tilde{u}^T&ref^T
\end{pmatrix}FU
$$

$$
H=
\begin{pmatrix}
S^TQS+D_i^TRD_i&0\\
0&q
\end{pmatrix}
$$

$$
F=
\begin{pmatrix}
V^TQS&0\\
-R^TD_i&0\\
-QS&0
\end{pmatrix}
$$

$$
GU\leq W+E
\begin{pmatrix}
x\\
\tilde{u}\\
ref
\end{pmatrix}
$$

$$
G=
\begin{pmatrix}
-I&0\\
I&0\\
-S&-M\\
S&-M

\end{pmatrix}
$$
$$
W=\begin{pmatrix}
-l\\
u\\
-l_s\\
u_s
\end{pmatrix}
$$
$$
E=\begin{pmatrix}
0&0&0\\
0&0&0\\
V&0&0\\
-V&0&0
\end{pmatrix}
$$

$$
U=
\begin{pmatrix}
u_k\\
\epsilon
\end{pmatrix}
$$
Kde $u_k$ je posloupnost kroku o rozměru $1\times T_{vz}n_u$ tedy počet kroků predikce krát velikost vstupu.  $\epsilon\geq 0; \epsilon \in \mathbb{R}$. Dále platí tvrdé omezení na vstup:
$$
l\leq u_k\leq u
$$
a měkká omezení na výstup
$$
l_s-M\epsilon\leq y\leq u_s+M\epsilon; M\in\mathbb{R}^{T_pn_y}; M(i)\geq 0; i=1,2,\dots,T_pn_y
$$


\end{document}